13  Analisis Variansi

13.1 Uji F

\[ F=\frac{MS_{between}}{MS_{within}} \] dengan

  • \(MS_{between}\) adalah varaiansi antar grup

  • \(MS_{within}\) adalah variansi dalam grup

Group 1

Group 2

Group 3

342.3

380.4

395.0

424.7

437.9

371.2

382.9

391.8

516.4

344.4

330.5

461.5

387.0

374.7

327.3

421.7

390.1

360.4

333.0

379.8

442.6

357.1

338.4

443.8

451.7

345.2

505.9

394.3

400.7

360.0

13.2 Uji Hipotesis

  1. Hipotesis

    \(H_0: \mu_1=\mu_2=\mu_3\)

  2. Taraf signifikansi

    \(\alpha = 0.05\)

  3. Statistik Uji

    Analisis variansi (Anova)

  4. Estimasi \(F\)

    Langkah 1:

    \(n\) merupakan jumlah partisipan setiap grup (dalam contoh ada \(10\) partisipan setiap grup)

    \(\Sigma X\) merupakan jumlah skor matematika \(3839.11\)

    \(\bar X\) rata-rata skor matematika group 1 \(383.91\)

    \(\Sigma (X^2)\) jumlah kuadrat semua skor matematika di grup 1 \(1488287\)

    \(\frac {(\Sigma X)^2}{n}\) kudrat dari jumlah seluruh skor matematika grup 1 dibagi banyaknya partisipan grup 1 (\(\frac{14738785}{10}=147387.5\))

    Langkah 2:

    Total partisipan \(N=30\)

    Jumlah semua skor:

    \(\Sigma \Sigma X = 11792.78\)

    Jumlah seluruh skor antar grup (\(k\)) kuadrat dan dibagi dengan \(n\)

    \(\frac{(\Sigma_k \Sigma X)^2}{n}=1390696.6\)

    Jumlah seluruh skor kuadrat semua grup

    \(\Sigma_k \Sigma(X^2)=4707466\)

    Jumlah dari skor masing-masing grup (\(k\)) yang dikuadratkan kemudian dibagi dengan \(N\)

    \(\frac{\Sigma_k(\Sigma X)^2}{n}=3319016\)

    \(SS_{between}\) \(\Sigma_k(\Sigma X)^2/n-(\Sigma_k\Sigma X)^2/n\) atau \(3319016-1390696.6\) \(1928319\)
    \(SS_{within}\) \(\Sigma_k\Sigma(X^2)-\Sigma_k (\Sigma X)^2/n\) atau \(4707466-3319016\) \(1388450\)
    \(SS_{total}\)$ \(\Sigma_k\Sigma (X^2)-(\Sigma_k\Sigma X)^2/n\) atau \(4707466-1390696.6\) \(3316769\)

    Derajat bebas antar grup:

    \(Df = (k-1, N-k)\)

    \(Df=(3-1, 30-3) = (2,27)\)

    Nilai \(F_{2,27}\):

\[ F_{(2,27)}= \frac{964159.5}{51424.07}=18.75 \]

  1. Kriteria keputusan

    Nilai yang dibutuhkan untuk menolak \(H_0\) dengan taraf signifikansi \(0.05\) dan derajat bebas \((2,27)\) adalah \(3.36\). Sehingga, \(H_0\) ditolak jika nilai \(F\) kurang dari \(-3.36\) atau lebih dari \(3.36\).

  2. Membandingkan nilai uji \(F\) dan nilai kritis

    Nilai uji \(F=18.75\) lebih besar dari nilai kritis \(3.36\).

  3. Kesimpulan

    Oleh karena \(F=18.75\) lebih dari nilai kritis \(3.36\) maka \(H_0\) ditolak yang berarti rata-rata nilai matematika grup 1, grup 2, dan grup 3 berbeda.

13.3 Uji F menggunakan R

data <- pisa |>   
  filter(CNTSCHID %in% c("36000006", "36000020", "36000030")) |> 
  group_by(CNTSCHID) |> 
  select(MATH) |> 
  slice(1:10) 
Adding missing grouping variables: `CNTSCHID`
         vars  n        mean    sd      median     trimmed   mad         min
CNTSCHID    1 30 36000018.67 10.01 36000020.00 36000018.83 14.83 36000006.00
MATH        2 30      393.09 49.76      384.94      388.26 56.67      327.29
                 max  range  skew kurtosis   se
CNTSCHID 36000030.00  24.00 -0.19    -1.60 1.83
MATH          516.44 189.15  0.76    -0.16 9.09
summary(m1)
                    Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
as.factor(CNTSCHID)  2   9853    4927   2.147  0.136
Residuals           27  61959    2295

13.4 Ukuran efek

\[ \eta^2=\frac{SS_{between}}{SS_{trial}}=\frac{SS_{between}}{SS_{between}+SS_{residual}} \]

\[ \eta^2=\frac{9853}{9853+61959}=0.14 \]

TukeyHSD(m1)
  Tukey multiple comparisons of means
    95% family-wise confidence level

Fit: aov(formula = MATH ~ as.factor(CNTSCHID), data = data)

$`as.factor(CNTSCHID)`
                      diff       lwr      upr     p adj
36000020-36000006 -6.95100 -60.06826 46.16626 0.9437418
36000030-36000006 34.49495 -18.62231 87.61221 0.2587185
36000030-36000020 41.44595 -11.67131 94.56321 0.1484318