10  Uji z Satu Sampel

10.1 Uji z

\[ z=\frac{\bar{X}-\mu}{SEM} \]

dimana

  • \(\bar{X}\) adalah rata-rata sampel,

  • \(\mu\) adalah rata-rata populasi,

  • \(SEM\) adalah standar eror dari rata-rata

\[ SEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

dengan

  • \(\sigma\) merupakan standar deviasi populasi, dan

  • \(n\) merupakan ukuran sampel

Jumlah Rata-rata Standar Deviasi
Sampel 50 374.67 53.09
Populasi 1297 374.02 64.42

10.1.1 Langkah-langkah melakukan uji \(z\)

  1. Merumuskan hipotesis nol dan hipotesis alternatif

    $ H_0: {X}=$

    $ H_A:{X}$

  2. Menetapkan taraf signifikansi

    \(\alpha=0.05\)

  3. Memilih uji statistik

    Uji statistik yang sesuai adalah uji \(z\) satu sampel

  4. Menghitung nilai estimasi

\[ SEM=\frac{64.42}{\sqrt{50}}=9.11 \]

\[ z=\frac{1297-50}{9.11}=132.49 \]

  1. Menentukan nilai yang diperlukan untuk menolak hipotesis nol dengan menggunakan nilai kritis yang sesuai untuk statistik tertentu.

    Dalam hal ini karena kita menggunakan \(\alpha=0.05\), maka nilai kritis yang diperlukan \(\pm1.96\). Sehingga, hipotesis nol ditolak jika nilai estimasi atau skor \(z\) kurang dari \(-1.96\) atau lebih dari \(1.96\)

  2. Membandingkan nilai estimasi dengan nilai kritis

    Nilai estimasi 132.49 lebih dari nilai kritis 1.96.

  3. Menarik kesimpulan

    Berdasarkan hasil penghitungan nilai \(z\), diperoleh bahwa \(z=132.49\) lebih dari \(1.96\), sehingga kita dapat membuat kesimpulan \(H_0\) ditolak yaitu proporsi nilai matematika sampel dan populasi berbeda.

10.2 Menghitung skor z menggunakan R

math <- c(466.4, 306.7, 496.6, 298.4, 349.8, 463.2,
          442.0, 322.6, 327.4, 380.4)

Diketahui bahwa standar deviasi populasi sebesar 64.42 dan ukuran sampel ini 10.

sem <- 64.42/sqrt(10)
sem
[1] 20.37139

Rata-rata populasi 374.02, sehingga nilai \(z\):

z_stat <- (mean(math)-374.02)/sem
z_stat
[1] 0.5561721
pnorm(abs(z_stat))
[1] 0.7109534
1-pnorm(abs(z_stat))
[1] 0.2890466
(1-pnorm(abs(z_stat)))*2
[1] 0.5780932
library(BSDA)
Loading required package: lattice

Attaching package: 'BSDA'
The following object is masked from 'package:datasets':

    Orange
z.test(x = math, mu=374.02, sigma.x = 64.42)

    One-sample z-Test

data:  math
z = 0.55617, p-value = 0.5781
alternative hypothesis: true mean is not equal to 374.02
95 percent confidence interval:
 345.4228 425.2772
sample estimates:
mean of x 
   385.35

10.3 Ukuran efek

\[ d=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma} \]

dimana

  • \(\bar{X}\) adalah rata-rata sampel

  • \(\mu\) adalah rata-rata populasi, dan

  • \(\sigma\) adalah standar deviasi populasi

Misal:

Sebelumnya diketahui standar deviasi populasi sebesar 64.42, ukuran sampel 10, dan rata-rata populasi 374.02, maka effect size:

\[ d=\frac{385.35-374.02}{64.42}=0.175 \]

  • Ukuran efek kecil berkisar antara 0 hingga 0,2.

  • Ukuran efek sedang berkisar antara 0,2 hingga 0,5.

  • Ukuran efek besar nilai \(d\) lebih dari 0,5.